makalah geometri- limas

Dosen Pengampu

HERA DESWITA, M.Pd

MAKALAH GEOMETRI RUANG

(LIMAS)

Oleh:

1.    SHOLIKHAN                                      (1430030)

2.    DESTRY AYU ANGGRAINI                       (1430024)

3.    RAHAYU NINGSIH                           (1430007)

4.    GUSTI ANDRIANI                            (1430016)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PASIR PENGARAIAN

2016

KATA PENGANTAR

Assalamu'alaikum wr. wb.

Alkhamdulillah segala puji kita haturkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahNya , sehingga kami mampu menyelesaikan makalah yang berjudul “Bangun Ruang Limas”. Sholawat serta salam senantiasa kami sanjungkan kepada jujungan kita nabi Muhammad SAW yang membimbing manusia dari kesesatan dan kejahiliaan menuju kebenaran yang hakiki..

Sebagai penyusun kami menyadari bahwa makalah inin jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kami mengharapkan dari para pembaca untuk memberi kritik dan saran yang membangun membangun demi kesempurnaan makalah ini.

Sesungguhnya tiada yang sempurna kecuali Allah dan kepada Allah jualah segala kami serahkan kembali, semoga ini semua bermanfaat untuk semua.

Penulis,

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR......................................................    ii

DAFTAR ISI......................................................................   iii

BAB I PENDAHULUAN

   A. Latar Belakang...........................................................    1

   B. Rumusan Masalah .....................................................    1

BAB II PEMBAHASAN

      A.Pengertian Limas......................................................    2

B.Unsur – Unsur Limas...............................................    2

C.Sifat - Sifat Limas Segiempat..................................    3

D.Jaring – Jaring Limas Segiempat............................    3

E.Luas Permukaan Limas...........................................    3

F.Volume Limas...........................................................    8

BAB III PENUTUP

A.Kesimpulan.............................................................. 18

B.Saran......................................................................... 18

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Dalam matematika dikenal beberapa limas tiga dimensi yang memiliki panjang, lebar dan tinggi. Limas-limas ini tidak dapat digambar dengan pasti di atas bidang datar sehingga mereka merupakan bangun ruang.

Limas memiliki bagian-bagian yang biasa kita kenal dengan sebutan titik sudut, rusuk, bidang sisi, luas permukaan dan volume.

Apa yang dimiliki oleh limas ini akan dibahas secara detail dalam makalah ini, agar dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

B.     Rumusan Masalah

1)      Apa yang dimaksud limas ?

2)      Apa saja unsur-unsur limas ?

3)      Bagimana sifat-sifat limas segiempat ?

4)      Apa saja jarring-jaring limas segiempat ?

5)      Bagaimana cara mencari luas permukan limas ?

6)      Bagaimana cara mencari volume limas ?

BAB II

PEMBAHASAN

A.     Pengertian Limas

Limas adalah bangun yang dibatasi oleh sebuah alas bidang banyak dan bidang segitiga yang alasnya berhimpit dengan sisi-sisi bidang banyak tersebut, sedangkan titik puncaknya berhimpit disebuah titik yang terletak diluar bidang banyak tersebut. Limas merupakan bangun ruang yang alasnya berbentuk segi banyak (segitiga, segiempat, segilima, segi-n) dan bidang/sisi tegaknya berbentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik. Limas yang alasnya merupakan daerah segi-n disebut limas segi-n.

   

B.     Unsur-unsur Limas

1.    Titik sudut merupakan pertemuan 2 rusuk atau lebih.

2.    Rusuk yaitu garis yang merupakan perpotongan antara 2 sisi limas.

3.    Bidang sisi yaitu bidang yang terdiri dari bidang alas dan bidang sisi tegak.

4.    Bidang alas yaitu bidang yang merupakan alas dari suatu limas.

5.    Bidang sisi tegak yaitu bidang yang memotong bidang alas.

6.    Titik puncak yaitu titik yang merupakan titik persekutuan antara selimut-selimut alas.

7.    Tinggi limas yaitu jarak antara bidang alas dan titik puncak.

C.            Sifat-sifat Limas Segiempat

Limas segiempat memiliki alas berbentuk segiempat (persegi atau persegi panjang). Sesuai dengan sifatnya, setiap diagonal segi empat (persegi dan persegi panjang) memiliki ukuran yang sama panjang. Jadi, limas segiempat memiliki diagonal alas yang sama panjang.

d.      Jaring-jaring Limas Segiempat

Jaring-jaring limas segiempat diperoleh dengan cara mengiris sisi-sisi sampingnya kemudian merebahkannya, maka diperoleh jaring-jaring sebagaimana berikuti ini :

 

e.       Luas Permukaan Limas

Mungkin sebagian besar dari kita pernah melihat tenda-tenda yang tertata rapi di wilayahcamping ground. Tenda-tenda tersebut biasanya berbentuk prisma ataupun limas. Pernahkah kamu memikirkan: berapa meter persegi kain yang digunakan untuk membuat tenda-tenda tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pada kesempatan ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan luas permukaan dari suatu limas beraturan, atau dalam bahasa Inggris disebut regular pyramid.

Limas beraturan adalah bangun ruang yang memiliki alas berbentuk segi-n beraturan dan selimutnya terdiri dari segitiga-segitiga yang kongruen. Yang dimaksud segi-n beraturan adalah bangun datar yang memiliki sejumlah n sisi yang sama panjang. Berikut ini contoh-contoh dari limas beraturan.

Sebelum kita menentukan luas permukaan limas beraturan, mari kita temukan bagaimana cara menentukan luas dari bidang datar segi-n beraturan. Mengapa? Karena alas limas beraturan merupakan bidang datar segi-n beraturan.

Menentukan Luas Bidang Datar Segi-n Beraturan

Untuk menentukan luas bidang datar segi-n beraturan, kita pilih segi lima beraturan sebagai peragaannya. Misalkan segi lima tersebut masing-masing sisinya memiliki panjang s. Bagilah segi lima tersebut menjadi 5 segitiga yang kongruen, sehingga masing-masing segitiga tersebut memiliki panjang alas s dan tinggi t.

1.      Berapakah luas satu segitiga sama kaki dalam bentuk s dan t?

2.      Berapakah luas segi lima dalam bentuk s dan t?

3.                  Ulangi langkah 1 dan 2 dengan menggunakan segi-n beraturan lainnya, kemudian lengkapi tabel di bawah ini:

1.                  Luas segi-n beraturan tersebut akan mengandung variabel t. Variabel t ini memiliki nama khusus, yaitu apotema. Apotema dari segi-n beraturan adalah ruas garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran luar segi-n dengan sisi segi-n tersebut, dan tegak lurus dengan sisi segi-n tersebut.

2.                  Berapakah keliling dari segi-n beraturan tersebut dalam bentuk n dan s?

Dari beberapa langkah sebelumnya, kita telah menemukan rumus untuk menentukan luas dari segi-n beraturan sebagai berikut.

Luas dari segi-n beraturan adalah L = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ t atau L = 1/2 ∙ K ∙ t, di mana L adalah luas, K adalah keliling, t adalah apotema, s adalah sisi, dan n adalah banyak sisi dari segi-n tersebut.

Setelah kita mengetahui rumus untuk menentukan luas segi-n, mari kita temukan rumus untuk menentukan luas permukaan dari limas beraturan.

Menentukan Luas Permukaan Limas Beraturan

Kita dapat memotong dan membuka limas beraturan menjadi seperti gambar berikut.

1.      Berapakah luas tiap-tiap selimut limas di atas?

2.      Berapakah total luas selimut limas? Berapakah total luas selimut limas dengan bidang alasnya berbentuk segi-n beraturan?

1.      Berapakah luas bidang alas dari limas segi-n beraturan?

2.      Gunakan persamaan yang telah kamu peroleh pada langkah 2 dan 3 untuk menentukan luas permukaan limas segi-n beraturan dalam bentuk n, panjang sisi alass, tinggi selimut h, dan apotema t!

3.      Tulislah persamaan lainnya mengenai luas permukaan limas segi-n beraturan dalam bentuk tinggi h, apotema t, dan keliling dari bidang alas limas K!

Dari kegiatan di atas, kita telah memperoleh luas selimut limas adalah L_s = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ hatau L_s = 1/2 ∙ K ∙ h. Selain itu, kita juga telah memperoleh luas bidang alasnya adalah L_a = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ t atau L_a = 1/2 ∙ K ∙ t. Sehingga luas dari permukaan limas beraturan adalah L =L_s + L_a = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ h + 1/2 ∙ n ∙ s ∙ t = 1/2 ∙ n ∙ s (h + t) atau L = 1/2 ∙ K (h + t).

Luas permukaan limas beraturan adalah 1/2 ∙ n ∙ s (h + t) atau L = 1/2 ∙ K (h + t), di mana L adalah luas, K adalah keliling, h adalah tinggi selimut, t adalah apotema, s adalah sisi, dan n adalah banyak sisi dari segi-n beraturan tersebut.

Untuk menghitung luas permukaan limas dapat dilakukan dengan merebahkan sisi limas maka hasilnya merupakan jaring-jaring limas, luas jaring-jaring limas inilah yang merupakan luas permukaan limas. Untuk menghitung luas permukaan limas sangat tergantung dari bentuk alasnya.

Jika terdapat limas segitiga seperti gambar dibawah ini, maka luas permukaan limas tersebut adalah jumlah luas permukaan segitiga alas dan tutupnya di tambah luas segitiga sisi-sisinya.

 

Sehingga luas bangun di atas adalah luas segitiga alas ditambah dua kali luas segitiga sisi-sisinya.

Luas permukaan OABC = luas segitiga ABO + luas segitiga ABC + luas segitiga BCO +  luas segitiga ACO = luas alas + jumlah luas segitiga bidang banyak

Rumus:

      Luas Permukaan Limas = luas alas + jumlah luas segitiga bidang banyak

f. Volume Limas

Menurut Zoltan P. Dienes mengatakan bahwa setiap konsep matematika dapat dipahami dengan baik apabila disajikan dengan bantuan berbagai media pembelajaran yang konkrit kepada peserta didik. maka alat peraga sangat berperan besar dalam proses tersebut. Alat peraga yang sudah ditemukan dalam pembelajaran matematika sangat beraneka ragam. Maka dari itu dalam pembahasan kali ini akan disajikan contoh alat peraga beserta cara pembuatannya sekaligus menerapkannya dalam pembelajaran matematika yaitu alat peraga menemukan volume limas dengan pendekatan bangun ruang kubus.

1. Bentuk dan Manfaat Alat Peraga
 
Bentuk: Alat peraga ini berbentuk jaring-jaring kubus dan piramid (limas) isi dalamnya. Perhatikan gambar berikut.

Keterangan:
Kubus adalah adalah bangun 3 Dimensi yang memiliki 6 buah sisi dengan semua rusuknya sama panjang dan memiliki 4 sisi tegak. Sedangkan Limas Segi Empat adalah adalah bangun 3 Dimesi yang dibatasi oleh bangun segitiga sebagai sisi tegaknya. Kita biasa menyebutnya sebagai bangun ruang. Ciri khas limas adalah memiliki bagian runcing di bagian atasnya sebagai titik puncak.

Kegunaan:
Alat Peraga kubus dan limas ini dapat membantu siswa untuk menemukan rumus dari Volume Limas dengan kubus sebagai dasar penentuan rumusnya.

2. Pembuatan Alat Peraga 

Pembuatan alat peraga ini sangat mudah dan sederhana. Bahan yang harus disiapkan juga  tidak sulit dicari.

Alat dan bahan:

1) Gunting

2) Cutter

3) 2 Kertas asturo

4) Lem

5) Penggaris

6) Bolpoin/pensil

Kita akan membuat kubus dengan ukuran sisi 10 cm, tinggi limas adalah setengah dari sisi kubus yaitu 5 cm. Untuk tinggi segitiga pada limas adalah 5 √ 2. Kalian juga dapat membuatnya dengan ukuran yang kalian kehendaki. Penjelasan lebih rincinya adalah sebagai berikut:

Cara Membuat:
1. Gambarlah jaring-jaring kubus pada kertas asturo dengan panjang sisi 10 cm.

2. Gambarlah 6 jaring-jaring limas persegi pada kertas asturo (tidak dengan alasnya). Dengan ukuran seperti berikut: sisi alas limas 10 cm dan tinggi 7,07 cm

3. Gunting jaring-jaring kubus dan jaring-jaring limas tersebut.

4. Bentuklah jaring-jaring limas menjadi limas dengan bantuan lem untuk merekatkannya

5. Setelah keenam limas sudah dibuat, langkah selanjutnya adalah rekatkan masing-masing limas pada setiap luas bidang jaring-jaring kubus yang sudah dibuat dengan menggunakan lem.

6. Setelah selesai pada langkah 5 maka jadilah kubus berisi 6 limas persegi.

Kubus ini dapat dijadikan sebagai media pembelajaran matematika untuk mencari rumus volume limas yang dapat dibuktikan dengan volume kubus, untuk lebih jelasnya kita perhatikan penjelasan berikut :

Dari alat peraga tersebut dapat kita peroleh:

1. Berapa banyak limas yang dapat membentuk kubus? Yaitu 6 buah limas

2. Berapa tinggi limas tersebut jika dibandingkan dengan tinggi kubus? Tinggi limas = 1/2 Tinggi kubus

3. Berapa panjang sisi alas limas? Panjang sisi alas limas = Panjang sisi alas persegi

4. Berapakah Volume dari Limas tersebut?

=> Jika volume masing-masing limas pada gambar adalah ‘V’ maka volume enam buah limas sama dengan volume kubus, sehingga diperoleh hubungan berikut.

Volume 6 limas  = Volume kubus

       6V  = s x s x s

                        = ( s x s )  x s

                        = ( s x s ) x ( 1/2s x 2 ), jika   s x s = L dan ½ s = t

                       = L  x t x 2

                  6V  = 2 Lt

Volume 1 limas adalah 6V  = 2 Lt

                                  V  = 2/6 Lt

                                      = 1/3 Lt

Jadi Rumus:                             

Volume limas = 1/3 x L x t

                                     

Keterangan:

L = luas alas

t = tinggi limas

Volume Limas

Apabila dalam sebuah kubus ABCD.EFGH rusuknya  berukuran s satuan panjang, dibuat diagonal ruang AG, BH, CE, dan DF berpotongan di O, maka terbentuk 6 buah limas yang kongruen yaitu O.ABCD, O.EFGH, O.ABFE, O.BCGF, O.CDHG, dan O.DAEH. Dengan demikian, volume kubus ABCD.EFGH merupakan gabungan volume keenam limas tersebut, sehingga

   

Oleh karena  merupakan luas alas kubus ABCD.EFGH dan  merupakan tinggi limas O.ABCD maka  :

Volume limas O.ABCD =  x sx  

=  x luas alas limas x tinggi limas

Jadi, rumus volume limas dapat dinyatakan sebagai berikut

Volume limas = x luas alas x tinggi

g. Soal Latihan

Contoh Soal 1

Suatu limas segi empat beraturan sisi tegaknya terdiri atas empat segitiga sama kaki yang kongruen. Diketahui luas salah satu segitiga itu 135 cm² dan tinggi segitiga dari puncak limas 15 cm. Hitunglah luas permukaan limas.

Penyelesaian:

Kita harus mencari luas alas limas. Akan tetapi untuk mencari luas alas anda harus mencari panjang sisi segi empat beraturan tersebut yang sama dengan alas segitiga, yakni:

L∆ = ½ x a x t

135 cm² = ½ x a x 15 cm

a = 2 x 135 cm²/15 cm

a = 18 cm

Jadi panjang sisi segiempat tersebut adalah 18 cm

Sekarang cari luas segiempat yakni dengan rumus luas persegi, yakni:

L segiempat = s²

L segiempat = (18 cm)²

L segiempat = 324 cm²

Hitung luas permukaan limas:

Luas permukaan = L segiempat + 4 x L∆

Luas permukaan = 324 cm² + 4 x 135 cm²

Luas permukaan = 324 cm² + 540 cm²

Luas permukaan = 864 cm²

Jadi luas permukaan limas tersebut adalah 864 cm²

Contoh Soal 2

Alas sebuah limas segi empat beraturan berbentuk persegi. Jika tinggi segitiga 17 cm dan tinggi limas 15 cm, tentukan luas permukaan limas.

Penyelesaian:

Jika dibuat gambarnya akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Untuk mencari luas permukaan limas yang pertama anda cari adalah panjang rusuk segiempat. Dalam hal ini AB = 2 x EF. EF dapat dicari dengan teorema Pythagoras.

EF² = FT² – ET²

EF² = 17² – 15²

EF² = 289 – 225

EF² = 64

EF = √64

EF = 8 cm

Hitung panjang sisi segiempat (AB) yakni:

AB = 2 x EF

AB = 16 cm

Hitung luas alas yang bentuknya persegi yakni:

Luas alas = AB²

Luas alas = (16 cm)²

Luas alas = 256 cm²

Hitung luas segitiga yakni:

Luas ∆ = ½ x AB x FT

Luas ∆ = ½ x 16 x 17

Luas ∆ = 136 cm²

Hitung luas permukaan limas:

Luas permukaan = Luas alas + 4 x Luas ∆

Luas permukaan = 256 cm² + 4 x 136 cm²

Luas permukaan = 256 cm² + 544 cm²

Luas permukaan = 800 cm²

Jadi luas permukaan limas tersebut adalah 800 cm²

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

1.      Limas adalah bangun ruang yang alasnya berbentuk segi banyak (segitiga, segi empat, atau segi lima) dan bidang sisi tegaknya berbentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik. Titik potong dari sisi-sisi tegak limas disebut titik puncak limas.

2.      Jaring-jaring limas persegi

5.      Sifat limas persegi: mempunyai 5 buah sisi, 8 buah rusuk, memiliki titik puncak yang merupakan pertemuan beberapa buah segitiga, memiliki diagonal alas yang sama panjang.

6.        Luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas sisi-sisi tegak

7.      volume limas = 1/3 x luas alas x tinggi

8.      Penerapan dalam kehidupan sehari-hari seperti piramida yang ada di Mesir, museum lourve di Paris, dan  Candi Prambanan yang ada di Indonesia.

Daftar pustaka

Mulyana, 2002. Trip Dan Trik Berhitung Super Cepat. Surabaya: Agung Media Mulya.

Styawati, Maunah, 2009. LAPIS PGMI JILID 8-9.