Dosen
Pengampu
HERA
DESWITA, M.Pd
MAKALAH GEOMETRI RUANG
(LIMAS)
Oleh:
1.
SHOLIKHAN (1430030)
2.
DESTRY
AYU ANGGRAINI (1430024)
3.
RAHAYU
NINGSIH (1430007)
4.
GUSTI
ANDRIANI (1430016)
PROGRAM
STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS
KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS
PASIR PENGARAIAN
2016
KATA PENGANTAR
Assalamu'alaikum wr. wb.
Alkhamdulillah
segala puji kita haturkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayahNya , sehingga kami mampu menyelesaikan makalah yang berjudul “Bangun
Ruang Limas”. Sholawat serta salam senantiasa kami sanjungkan kepada jujungan
kita nabi Muhammad SAW yang membimbing manusia dari kesesatan dan kejahiliaan
menuju kebenaran yang hakiki..
Sebagai
penyusun kami menyadari bahwa makalah inin jauh dari sempurna. Oleh karena itu,
kami mengharapkan dari para pembaca untuk memberi kritik dan saran yang
membangun membangun demi kesempurnaan makalah ini.
Sesungguhnya
tiada yang sempurna kecuali Allah dan kepada Allah jualah segala kami serahkan
kembali, semoga ini semua bermanfaat untuk semua.
Penulis,
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR...................................................... ii
DAFTAR ISI...................................................................... iii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang........................................................... 1
B. Rumusan Masalah ..................................................... 1
BAB II
PEMBAHASAN
A.Pengertian Limas...................................................... 2
B.Unsur –
Unsur Limas............................................... 2
C.Sifat -
Sifat Limas Segiempat.................................. 3
D.Jaring –
Jaring Limas Segiempat............................ 3
E.Luas
Permukaan Limas........................................... 3
F.Volume Limas........................................................... 8
BAB III
PENUTUP
A.Kesimpulan.............................................................. 18
B.Saran......................................................................... 18
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam matematika dikenal beberapa limas tiga dimensi yang memiliki panjang,
lebar dan tinggi. Limas-limas ini tidak dapat digambar dengan pasti di atas
bidang datar sehingga mereka merupakan bangun ruang.
Limas memiliki bagian-bagian yang biasa kita kenal dengan sebutan titik
sudut, rusuk, bidang sisi, luas permukaan dan volume.
Apa yang dimiliki oleh limas ini akan dibahas secara detail dalam
makalah ini, agar dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.
B. Rumusan Masalah
1) Apa yang dimaksud limas ?
2) Apa saja
unsur-unsur limas ?
3) Bagimana sifat-sifat limas segiempat
?
4) Apa saja jarring-jaring limas segiempat ?
5) Bagaimana cara mencari luas permukan
limas ?
6) Bagaimana cara mencari volume limas ?
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Pengertian
Limas
Limas adalah bangun yang dibatasi oleh sebuah alas
bidang banyak dan bidang segitiga yang alasnya berhimpit dengan sisi-sisi
bidang banyak tersebut, sedangkan titik puncaknya berhimpit disebuah titik yang
terletak diluar bidang banyak tersebut. Limas merupakan bangun ruang yang
alasnya berbentuk segi banyak (segitiga, segiempat, segilima, segi-n) dan bidang/sisi tegaknya berbentuk
segitiga yang berpotongan pada satu titik.
Limas yang alasnya merupakan daerah segi-n disebut limas segi-n.
B.
Unsur-unsur
Limas
1. Titik
sudut merupakan pertemuan 2 rusuk atau lebih.
2. Rusuk
yaitu garis yang merupakan perpotongan antara 2 sisi limas.
3. Bidang
sisi yaitu bidang yang terdiri dari bidang alas dan bidang sisi tegak.
4. Bidang
alas yaitu bidang yang merupakan alas dari suatu limas.
5. Bidang
sisi tegak yaitu bidang yang memotong bidang alas.
6. Titik
puncak yaitu titik yang merupakan titik persekutuan antara selimut-selimut
alas.
7. Tinggi
limas yaitu jarak antara bidang alas dan titik puncak.
C.
Sifat-sifat Limas Segiempat
Limas segiempat memiliki alas berbentuk segiempat (persegi
atau persegi panjang). Sesuai dengan sifatnya, setiap diagonal segi empat
(persegi dan persegi panjang) memiliki ukuran yang sama panjang. Jadi, limas segiempat memiliki
diagonal alas yang sama panjang.
d. Jaring-jaring Limas Segiempat
Jaring-jaring limas segiempat diperoleh dengan cara mengiris
sisi-sisi sampingnya kemudian merebahkannya, maka diperoleh jaring-jaring
sebagaimana berikuti ini :
e. Luas Permukaan Limas
Mungkin sebagian besar dari kita pernah melihat tenda-tenda yang tertata
rapi di wilayahcamping ground. Tenda-tenda
tersebut biasanya berbentuk prisma ataupun limas. Pernahkah kamu memikirkan:
berapa meter persegi kain yang digunakan untuk membuat tenda-tenda tersebut?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pada kesempatan ini kita akan mempelajari
bagaimana menentukan luas permukaan dari suatu limas beraturan, atau dalam
bahasa Inggris disebut regular pyramid.
Limas beraturan adalah bangun ruang yang memiliki alas berbentuk segi-n beraturan dan selimutnya terdiri dari
segitiga-segitiga yang kongruen. Yang dimaksud segi-n beraturan
adalah bangun datar yang memiliki sejumlah n sisi yang
sama panjang. Berikut ini contoh-contoh dari limas beraturan.
Sebelum
kita menentukan luas permukaan limas beraturan, mari kita temukan bagaimana
cara menentukan luas dari bidang datar segi-n beraturan. Mengapa? Karena alas limas
beraturan merupakan bidang datar segi-n beraturan.
Menentukan Luas Bidang Datar
Segi-n Beraturan
Untuk
menentukan luas bidang datar segi-n beraturan, kita pilih segi lima
beraturan sebagai peragaannya. Misalkan segi lima tersebut masing-masing
sisinya memiliki panjang s. Bagilah segi lima tersebut menjadi 5 segitiga yang
kongruen, sehingga masing-masing segitiga tersebut memiliki panjang alas s dan tinggi t.
1.
Berapakah luas satu
segitiga sama kaki dalam bentuk s dan t?
2.
Berapakah luas segi
lima dalam bentuk s dan t?
3.
Ulangi langkah 1 dan 2
dengan menggunakan segi-n beraturan
lainnya, kemudian lengkapi tabel di bawah ini:
1.
Luas segi-n beraturan tersebut akan mengandung
variabel t. Variabel t ini memiliki
nama khusus, yaitu apotema. Apotema dari
segi-n beraturan adalah ruas garis yang menghubungkan
titik pusat lingkaran luar segi-n dengan sisi
segi-n tersebut, dan tegak lurus dengan sisi segi-n tersebut.
2.
Berapakah keliling
dari segi-n beraturan tersebut dalam bentuk n dan s?
Dari beberapa langkah sebelumnya, kita telah menemukan rumus untuk
menentukan luas dari segi-n beraturan
sebagai berikut.
Luas dari segi-n beraturan adalah L = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ t atau L = 1/2 ∙ K ∙ t,
di mana L adalah luas, K adalah keliling, t adalah apotema, s adalah sisi, dan
n adalah banyak sisi dari segi-n tersebut.
Setelah kita mengetahui rumus untuk
menentukan luas segi-n, mari kita temukan rumus untuk
menentukan luas permukaan dari limas beraturan.
Menentukan
Luas Permukaan Limas Beraturan
Kita dapat memotong dan membuka limas beraturan menjadi seperti gambar
berikut.
1.
Berapakah luas
tiap-tiap selimut limas di atas?
2.
Berapakah total luas
selimut limas? Berapakah total luas selimut limas dengan bidang alasnya
berbentuk segi-n beraturan?
1.
Berapakah luas bidang
alas dari limas segi-n beraturan?
2.
Gunakan persamaan yang
telah kamu peroleh pada langkah 2 dan 3 untuk menentukan luas permukaan limas
segi-n beraturan dalam bentuk n, panjang sisi alass, tinggi selimut h, dan apotema t!
3.
Tulislah persamaan
lainnya mengenai luas permukaan limas segi-n beraturan
dalam bentuk tinggi h, apotema t, dan keliling dari bidang alas limas K!
Dari kegiatan di atas, kita telah memperoleh luas selimut limas
adalah Ls = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ hatau Ls = 1/2 ∙ K ∙ h. Selain itu, kita juga telah memperoleh luas bidang
alasnya adalah La = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ t atau La = 1/2 ∙ K ∙ t. Sehingga luas dari permukaan limas beraturan adalah
L =Ls + La = 1/2 ∙ n ∙ s ∙ h + 1/2 ∙ n ∙ s ∙ t = 1/2 ∙ n ∙ s (h + t) atau L = 1/2 ∙ K (h + t).
Luas
permukaan limas beraturan adalah 1/2 ∙ n ∙ s (h + t) atau L = 1/2 ∙ K (h + t),
di mana L adalah luas, K adalah keliling, h adalah tinggi selimut, t adalah
apotema, s adalah sisi, dan n adalah banyak sisi dari segi-n beraturan
tersebut.
Untuk menghitung luas permukaan
limas dapat dilakukan dengan merebahkan sisi limas maka hasilnya merupakan
jaring-jaring limas, luas jaring-jaring limas inilah yang merupakan luas
permukaan limas. Untuk menghitung luas permukaan limas sangat tergantung dari
bentuk alasnya.
Jika terdapat
limas segitiga seperti gambar dibawah ini, maka luas permukaan limas tersebut
adalah jumlah luas permukaan segitiga alas dan tutupnya di tambah luas segitiga
sisi-sisinya.
Sehingga
luas bangun di atas adalah luas segitiga alas ditambah dua kali luas segitiga
sisi-sisinya.
Luas
permukaan OABC = luas segitiga ABO + luas segitiga ABC + luas segitiga BCO
+ luas segitiga ACO = luas alas + jumlah
luas segitiga bidang banyak
Rumus:
Luas
Permukaan Limas = luas alas + jumlah luas segitiga bidang banyak
f. Volume Limas
Menurut
Zoltan P. Dienes mengatakan bahwa setiap konsep matematika
dapat dipahami dengan baik apabila disajikan dengan bantuan berbagai media
pembelajaran yang konkrit kepada peserta didik. maka alat peraga sangat
berperan besar dalam proses tersebut. Alat peraga yang sudah ditemukan dalam
pembelajaran matematika sangat beraneka ragam. Maka dari itu dalam pembahasan
kali ini akan disajikan contoh alat peraga beserta cara pembuatannya sekaligus
menerapkannya dalam pembelajaran matematika yaitu alat peraga menemukan volume
limas dengan pendekatan bangun ruang kubus.
1. Bentuk dan Manfaat Alat Peraga
Bentuk: Alat peraga ini berbentuk jaring-jaring kubus dan piramid (limas) isi dalamnya. Perhatikan gambar berikut.
Bentuk: Alat peraga ini berbentuk jaring-jaring kubus dan piramid (limas) isi dalamnya. Perhatikan gambar berikut.
Keterangan:
Kubus adalah adalah bangun 3 Dimensi yang memiliki 6 buah sisi dengan semua rusuknya sama panjang dan memiliki 4 sisi tegak. Sedangkan Limas Segi Empat adalah adalah bangun 3 Dimesi yang dibatasi oleh bangun segitiga sebagai sisi tegaknya. Kita biasa menyebutnya sebagai bangun ruang. Ciri khas limas adalah memiliki bagian runcing di bagian atasnya sebagai titik puncak.
Kegunaan:
Alat Peraga kubus dan limas ini dapat membantu siswa untuk menemukan rumus dari Volume Limas dengan kubus sebagai dasar penentuan rumusnya.
2. Pembuatan Alat Peraga
Kubus adalah adalah bangun 3 Dimensi yang memiliki 6 buah sisi dengan semua rusuknya sama panjang dan memiliki 4 sisi tegak. Sedangkan Limas Segi Empat adalah adalah bangun 3 Dimesi yang dibatasi oleh bangun segitiga sebagai sisi tegaknya. Kita biasa menyebutnya sebagai bangun ruang. Ciri khas limas adalah memiliki bagian runcing di bagian atasnya sebagai titik puncak.
Kegunaan:
Alat Peraga kubus dan limas ini dapat membantu siswa untuk menemukan rumus dari Volume Limas dengan kubus sebagai dasar penentuan rumusnya.
2. Pembuatan Alat Peraga
Pembuatan alat peraga ini sangat
mudah dan sederhana. Bahan yang harus disiapkan juga tidak sulit dicari.
Alat dan bahan:
1) Gunting
2) Cutter
3) 2 Kertas asturo
4) Lem
5) Penggaris
6) Bolpoin/pensil
Kita akan membuat kubus dengan ukuran sisi 10 cm, tinggi limas adalah setengah dari sisi kubus yaitu 5 cm. Untuk tinggi segitiga pada limas adalah 5 √ 2. Kalian juga dapat membuatnya dengan ukuran yang kalian kehendaki. Penjelasan lebih rincinya adalah sebagai berikut:
Cara Membuat:
1. Gambarlah jaring-jaring kubus pada kertas asturo dengan panjang sisi 10 cm.
2.
Gambarlah 6 jaring-jaring limas persegi pada kertas asturo (tidak dengan
alasnya). Dengan ukuran seperti berikut: sisi alas limas 10 cm dan tinggi 7,07
cm
3. Gunting jaring-jaring kubus dan
jaring-jaring limas tersebut.
4. Bentuklah jaring-jaring limas
menjadi limas dengan bantuan lem untuk merekatkannya
5. Setelah keenam limas sudah dibuat, langkah selanjutnya adalah rekatkan masing-masing limas pada setiap luas bidang jaring-jaring kubus yang sudah dibuat dengan menggunakan lem.
6. Setelah selesai pada langkah 5 maka jadilah kubus berisi 6 limas persegi.
Kubus ini dapat dijadikan sebagai
media pembelajaran matematika untuk mencari rumus volume limas yang dapat
dibuktikan dengan volume kubus, untuk lebih jelasnya kita perhatikan penjelasan
berikut :
Dari alat peraga tersebut dapat kita peroleh:
1. Berapa banyak limas yang dapat
membentuk kubus? Yaitu 6 buah limas
2. Berapa tinggi limas tersebut jika
dibandingkan dengan tinggi kubus? Tinggi limas = 1/2 Tinggi kubus
3. Berapa panjang sisi alas limas? Panjang
sisi alas limas = Panjang sisi alas persegi
4. Berapakah Volume dari Limas
tersebut?
=> Jika volume masing-masing
limas pada gambar adalah ‘V’ maka volume enam buah limas sama dengan volume
kubus, sehingga diperoleh hubungan berikut.
Volume 6 limas = Volume kubus
6V = s x s x s
= ( s x s ) x s
= ( s x s ) x ( 1/2s x
2 ), jika s x s = L dan ½ s = t
= L x t x 2
6V = 2 Lt
Volume 1 limas adalah 6V = 2 Lt
V = 2/6 Lt
= 1/3 Lt
Jadi Rumus:
Volume limas = 1/3 x L x t
Keterangan:
L = luas alas
t = tinggi limas
Volume Limas
Apabila
dalam sebuah kubus ABCD.EFGH rusuknya
berukuran s satuan panjang, dibuat diagonal ruang AG, BH, CE, dan DF
berpotongan di O, maka terbentuk 6 buah limas yang kongruen yaitu O.ABCD, O.EFGH,
O.ABFE, O.BCGF, O.CDHG, dan O.DAEH. Dengan demikian, volume kubus ABCD.EFGH
merupakan gabungan volume keenam limas tersebut, sehingga
Oleh karena merupakan luas alas kubus ABCD.EFGH dan merupakan tinggi limas
O.ABCD maka :
Volume limas O.ABCD = x sx
= x luas alas limas x
tinggi limas
Jadi, rumus volume limas dapat dinyatakan sebagai berikut
Volume
limas = x luas alas x tinggi
g. Soal Latihan
Contoh Soal 1
Suatu limas segi empat beraturan sisi tegaknya terdiri atas
empat segitiga sama kaki yang kongruen. Diketahui luas salah satu segitiga itu
135 cm2 dan tinggi segitiga dari puncak limas 15 cm. Hitunglah luas
permukaan limas.
Penyelesaian:
Kita harus mencari luas alas limas. Akan tetapi untuk
mencari luas alas anda harus mencari panjang sisi segi empat beraturan tersebut
yang sama dengan alas segitiga, yakni:
L∆
= ½ x a x t
135
cm2 = ½ x a x 15 cm
a
= 2 x 135 cm2/15 cm
a
= 18 cm
Jadi
panjang sisi segiempat tersebut adalah 18 cm
Sekarang
cari luas segiempat yakni dengan rumus luas persegi, yakni:
L
segiempat = s2
L
segiempat = (18 cm)2
L
segiempat = 324 cm2
Hitung
luas permukaan limas:
Luas
permukaan = L segiempat + 4 x L∆
Luas
permukaan = 324 cm2 + 4 x 135 cm2
Luas
permukaan = 324 cm2 + 540 cm2
Luas
permukaan = 864 cm2
Jadi
luas permukaan limas tersebut adalah 864 cm2
Contoh Soal 2
Alas sebuah limas segi empat beraturan berbentuk persegi.
Jika tinggi segitiga 17 cm dan tinggi limas 15 cm, tentukan luas permukaan
limas.
Penyelesaian:
Jika
dibuat gambarnya akan tampak seperti gambar di bawah ini.
Untuk mencari luas permukaan limas yang pertama anda cari
adalah panjang rusuk segiempat. Dalam hal ini AB = 2 x EF. EF dapat dicari
dengan teorema Pythagoras.
EF2
= FT2 – ET2
EF2
= 172 – 152
EF2
= 289 – 225
EF2
= 64
EF
= √64
EF
= 8 cm
Hitung
panjang sisi segiempat (AB) yakni:
AB
= 2 x EF
AB
= 16 cm
Hitung
luas alas yang bentuknya persegi yakni:
Luas
alas = AB2
Luas
alas = (16 cm)2
Luas
alas = 256 cm2
Hitung
luas segitiga yakni:
Luas
∆ = ½ x AB x FT
Luas
∆ = ½ x 16 x 17
Luas
∆ = 136 cm2
Hitung
luas permukaan limas:
Luas
permukaan = Luas alas + 4 x Luas ∆
Luas
permukaan = 256 cm2 + 4 x 136 cm2
Luas
permukaan = 256 cm2 + 544 cm2
Luas
permukaan = 800 cm2
Jadi
luas permukaan limas tersebut adalah 800 cm2
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Limas adalah bangun ruang yang alasnya berbentuk segi banyak (segitiga,
segi empat, atau segi lima) dan bidang sisi tegaknya berbentuk segitiga yang
berpotongan pada satu titik. Titik potong dari sisi-sisi tegak limas disebut
titik puncak limas.
2. Jaring-jaring limas persegi
5.
Sifat limas persegi: mempunyai 5 buah sisi, 8
buah rusuk, memiliki titik puncak yang merupakan pertemuan beberapa buah
segitiga, memiliki diagonal alas yang sama panjang.
6.
Luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas sisi-sisi tegak
7.
volume limas = 1/3 x luas alas x tinggi
8.
Penerapan dalam kehidupan sehari-hari seperti
piramida yang ada di Mesir, museum lourve di Paris, dan Candi Prambanan yang ada di Indonesia.
Daftar pustaka
Mulyana, 2002. Trip Dan Trik Berhitung
Super Cepat. Surabaya: Agung Media Mulya.
Styawati, Maunah, 2009. LAPIS PGMI
JILID 8-9.
No comments:
Post a Comment